地区：上海市 宝山区
关键词：桂林电子科技大学
成果类型：其它
成果领域：生物与新医药
成果编号：A2021061000003716
成果描述：
| 该项目为国家自然科学基金（编号:11161013）资助的项目。非线性波方程出现在数学、力学、光学和生物学等众多学科领域，是非线性科学的重要分支。该项目利用微分方程定性理论分析奇异直线、奇异双曲线、奇异椭圆和奇异抛物线对非线性波方程的奇异孤子的影响，分析奇异孤子的产生原因并提出分类标准。利用动力系统理论研究了几类非线性波方程，研究结果阐述了幂零奇点与紧孤子存在紧密联系。通过分析奇异椭圆，获得了两个新的紧孤子。利用李群方法研究了一个短波方程的李点对称和广义对称，通过解的对称性，运用动力系统分支方法对方程的参数空间进行分析，获得了方程的四类行波解。对非线性波方程的周期波解，推导出相关的Picard-Fuchs 方程，分析周期函数的单调性和凸性等解析性质，揭示周期波解的周期与能量之间的关系，并根据周期函数的凸性研究周期波解的稳定性。该项目的研究丰富了非线性波方程的理论，推动相关学科的发展。二次奇异曲线与可积方程的研究：研究了奇异双曲线、奇异椭圆和奇异抛物线与奇异孤子以及奇异周期波解的关系，首次给出了拟 cuspon解的概念，显示拟 cuspon解在峰点虽然一阶导数存在，但二阶导数不存在，获得了方程新的奇异周期波解。奇异孤子与幂零奇点的研究：通过变量变换，将非线性波方程转化为微分系统，利用动力系统分支方法，分析各种参数条件下系统的相图，从而明确奇异直线，奇异椭圆与奇异孤子的关系。利用微分方程定性理论，结合相图分析技术，研究了Olver-Rosenau 方程以及其他非线性波方程的幂零奇点出现的条件，给出了幂零奇点的具体类型的理论判据，阐述了奇异椭圆与奇异孤子存在紧密联系，并首次发现了一种新的奇异紧孤子，一个有趣的现象是在同一系统同一参数条件下同时出现两个紧孤子。周期波解的稳定性研究：研究了非线性薛定谔方程的周期波解的存在性，给出了周期波解存在的参数条件，分析了周期波解所对应的周期函数的单调性和凸性，阐述周期波解的周期与能量之间的关系，利用Picard-Fuchs 方程分析周期函数的单调性并根据周期函数的单调性和凸性分析周期波解的轨道稳定性。行波解分支与极限环分支的研究：利用动力系统方法研究了KP-MEW(2,2)方程与Boussinesq方程的行波解分支，给出了方程在无穷边界条件下的各种奇异孤子的存在条件与分类，证明了各种孤立波解的渐近性质，从动力系统观点区分了各种奇异孤子的联系与区别，并通过数值模拟进行了验证。此外，利用符号计算方法计算四次系统的奇点量，研究了四次系统的极限环分支。通过该项目的实施，在理论、研究方法以及应用上取得了一些重要突破。项目发表学术论文21篇，其中SCI收录20篇、中文核心1篇，培养研究生13名。 |
