地区：上海市 宝山区
关键词：桂林电子科技大学;长江大学
成果类型：其它
成果领域：生物与新医药
成果编号：A2021061000005462
成果描述：
| 课题来源与背景及研究目的与意义：微分系统的极限环与可积性问题和著名的Hilbert第16个问题密切相关，属于微分方程定性理论的经典问题，对微分系统本身作纯粹的数学研究有重要的理论意义；另外它们常常出现在生化反应、种群动力学、流行病学及其他应用数学和力学领域的微分模型之中。微分系统极限环的问题博大精深，尤其是Hilbert第16个问题后半部分关于极限环Hilbert数目的问题，虽然在的下界估计上取得了一些很好的结果，但实质性进展却不大。微分系统的可积性问题与前者密切联系，通常会制约前者的研究，而且对系统可积性的研究有助于了解系统的整体动力学性质。然而正如西班牙皇家科学院院士Jaume Llibre指出:即便是二次系统，其研究文章虽多达一千余篇，但其可积性依然是难以应对的问题，那更不用说其它复杂的系统了。尽管已经产生了大量的研究方法和技巧，但理论方法还需要不断全面、深入的研究，如由平面解析向量场拓展到高维非线性系统的研究，而且面向实际应用问题大量微分模型的出现，如生物种群反应扩散模型，需要进行极限环分支与可积性研究，以揭示其中的动力学性质等，这些作为非线性动力学领域的前沿课题的一部分，并越来越受到关注。该项目中，课题组建立一些新的理论和方法，利用计算机代数系统工具，定量计算与定性分析相结合深入地研究这些问题。主要论点与论据、创见与创新：该项目基于此，主要在已有工作的基础上对著名的Hilbert第十六问题的后半部分进行了深入研究，同时也对一般微分动力系统的分支问题、可积性及行波解问题进行了一些有益的探索。主要体现在以下几个方面：对拟解析系统(也称类-m次系统)进行研究，给出了一种研究拟解析系统的方法，进一步推进了这类系统中心、等时中心与极限环的研究。利用该方法，给出了一类中心形式的类-5次系统中心与等时中心条件，课题组还研究一类中心形式类-4次系统的中心与等时中心条件，在该研究中，课题组首次研究了具有鞍点形式的类-m次系统可线性化条件，并指出了具有鞍点形式的类-m次系统可线性化与具有中心形式的类-m次系统等时中心条件的关系。这些成果发表在国际权威期刊《International Journal of Bifurcation and Chaos》、《Journal of Mathematical Analysis and Applications》上。研究了高维动力系统多重Hopf分支问题，给出并证明了三维动力系统平衡点代数等价意义下的焦点量简易递推算法，这能够为高维动力系统的分析研究提供很大的帮助，利用此类算法研究了几类三维系统的Hopf分支问题，特别是关于L-V竞争系统和Lorenz系统的的极限环最大数目问题研究达到同类中最好结果。发表在《Acta Applicandae Mathematicae》、《Applied Mathematics and Computation》、《Advances in Difference Equations》等权威期刊上。在无穷远点广义中心与大振幅极限环分支的研究方面，在这一领域课题组早前直接利用由无穷远点中心-焦点理论所建立的递推公式计算奇点量，或者通过一个同胚变换把一类n次系统无穷远点转成原点的方法进行研究，已经获得了一系列当时最好的结论，如I(3)≥7，I(5)≥9，I(7)≥10，其中I(n)表示n次系统在无穷远点分支出的极限环的最大个数。而在该项目中课题组延续这一研究工作，并进行方法创新获得了一些新的结果发表在《Journal of Computational and Applied Mathematics》《中山大学学报(自科版)》上。利用平面微分系统的定性理论研究非线性波方程行波解分支问题，在非线性波动方程的周期行波解的周期与能量的关系、行波系统中奇异线和奇异孤子的关系、非线性波动方程的动力学性质等方面的研究上取得了一系列有意义的成果。发表在《Communications in Nonlinear ScienceNNumerical Simulation》、《Applied Mathematics and Computation》、《Journal of Mathematical Analysis and Applications》等权威期刊上。研究了生态学与工程领域的一些有价值的微分模型，除了上面提到Lotka-Volterra系统、Lorenz等混沌模型外，对生物入侵模型研究进展的综述文章发表在《科技导报》上，对具Monod-Haldane功能反应的四种群食饵-捕食脉冲系统的动力学分析的研究论文发表在《工程数学学报》。存在的问题及社会经济效益：对于著名的Hilbert第十六问题,以及一般微分动力系统的分支与可积性与行波解分支问题，课题组有了更多更深入的分析和研究，一些结论有待进一步的证明和验证，例如，三维以上的高维系统与时滞对于微分方程的动力学行为性质，分支、可积性、稳定性等，虽然没能形成文章发表，但这些有益的探索对后续的研究工作做了一个好的而且必要的铺垫。该项目《微分系统极限环、临界周期分支与非线性波方程行波解分支》形成一系列的关于微分系统极限环、中心、可积性与行波解的理论成果，具体可见该项目结题报告。该项目的实施，形成的理论成果丰富了微分方程定性理论的成果，且形成了一支团结合作具有创新活力的科研队伍，培养了多位硕士研究生，为中国科学技术的发展和地方经济文化建设做出应有的贡献，成果的学术水平总体是国际先进的,部分达到国际领先。 |
