地区：上海市 宝山区
关键词：上海应用技术学院
成果类型：其它
成果领域：生物与新医药
成果编号：A2021061000004980
成果描述：
| 在非线性微分方程的解析分析、摄动法和基于Taylor级数的数值方法等问题中，需要计算Adomian多项式。幂级数的非线性函数的幂级数展开式的系数也正是Adomian多项式。一直以来，Adomian多项式的计算涉及导数运算，随着计算Adomian多项式个数的增加，计算量急剧增加。首先，该项目给出并证明了一系列关于单变量和多变量Adomian多项式的快速算法，编制了Mathematica程序。Adomian多项式的算法被应用在非线性微分方程的高精度近似解析解和高阶数值解的设计中。为解析和数值求解非线性方程提高了效率、提供了新的方法。新提出的算法简单、易于编程。通过引入指数向量、指数矩阵和简化多项式，递推运算不涉及微分和积分，仅需简单的四则运算或上下标的替换，因此这些算法极大地减少了计算量。在发表的论文中，给出新算法生成前n个Adomian多项式的Mathematica程序，这里n可由人工指定。使用这一程序，生成前41个Adomian多项式所用时间是按定义算法所用时间的1.39%(Jun-Sheng Duan,Convenient analytic recurrence algorithms for the Adomian polynomials,Applied Mathematics and Computation 217(2011)6337-6348)。因此，该项目有效地解决了Adomian分解方法中使用的Adomian多项式的计算问题，使得基于Taylor级数的数值方法中遇到的“计算复杂”问题得到解决。N+1阶数值解的生成需要用到前N个Adomian多项式。Adomian多项式的新算法保证了高效、高阶的微分方程的数值算法。基于丢番图方程解集的剖分，给出非线性微分方程中非线性项分解的新思想。给出三类非经典Adomian多项式的简便的递推算法，递推运算也不涉及微分和积分。其次，基于Adomian多项式的快速算法，给出非线性微分方程初值问题的高阶数值求解格式。步长、阶数是算法中的两个参数，不同阶的数值解用同一的算法给出。还给出高精度的自动变阶算法，自动变步长算法，以及自动变阶变步长算法，进一步提升课题组算法的效率。提出求解高阶非线性常微分方程多点边值问题的修正分解方法。对精确解不存在的问题，提出供误差分析的误差剩余函数和极大误差剩余参数。提出参数化的递推格式，用来扩大解的有效域，作用类似于经典的收敛加速技术。提出的边值问题的修正分解法被用来分析和求解各种工程和科学中的非线性问题，方法直接、收敛速度快、计算效率高且非常方便于模型分析和参数分析。另外，将Adomian多项式的新算法应用于非线性分数阶微分方程的分数次幂级数解。并将经典的收敛加速技术，如Pade近似、Shanks变换等应用于这类分数次幂级数。对常微分方程初值问题，提出了近域常规分解和远域渐近分解，以及结合Pade近似的匹配方法，得到在整个区域内都有效的匹配解。这些成果包含在2010年1月至2013年1月发表的14篇论文中，其中13篇为SCI检索论文。这14篇论文在SCI数据库中被他引156次，其中的8篇代表性论文已被他引118次。所得成果被应用在科学和工程的不同领域，包括物理、化学、力学、生物、机械等领域中的非线性模型分析、非线性初值问题和边值问题的高精度解析近似解和高阶数值解等。 |
